lineares Gleichungssystem
- lineares Gleichungssystem
-
ein System mehrerer linearer Gleichungen (im Text mit (*) bezeichnet):
Dabei sind alle Koeffizienten
aij (
i = 1,.. .,
m;
j = 1,.. .,
n;
m,
n natürliche Zahlen) Elemente eines
Körpers K und
x1,...,
xn Variable (
Unbekannte). Sind in (*) alle
b1,.. .,
bm der rechten Seite gleich null, so heißt (*)
homogenes lineares Gleichungssystem, ansonsten
inhomogenes lineares Gleichungssystem. Gesucht sind bei gegebenen
aij ∈
K geordnete
n-Tupel (
ξ1,.. .,
ξn) ∈
Kn (
n-faches
kartesisches Produkt von
K) mit folgender Eigenschaft: Setzt man für
xi das Element
ξi (
i = 1,.. .,
n) in das lineare Gleichungssystem (*) ein, so sind alle Gleichungen erfüllt. Das heißt, gesucht sind diejenigen Werte
ξi, die die Variablen
xi annehmen müssen, damit in keiner Gleichung ein
Widerspruch auftritt (wahre
Aussage). Die Lösungsmenge von (*) wird als
Teilmenge von
Kn betrachtet. Z. B. hat das lineare Gleichungssystem
(
K ist der
rationale Zahlkörper ℚ) die einzige Lösung (2, 1), d. h., für
x1 = 2 und
x2 = 1 sind beide Gleichungen erfüllt; das System
besitzt keine
Lösungen, da
x1 +
x2 nicht zugleich die Werte 1 und
3/
2 annehmen kann; das System
hat die Lösungsmenge {(
2/
3 —
t,
1/
3 —
t,
t) |
t ∈ ℚ}. In diesem Fall existieren mehr Variable als Gleichungen, das System ist unbestimmt. Es gibt dann
unendlich viele Lösungen, da
x3 beliebige Werte
t aus ℚ annehmen kann. Die Lösungen für
x1 und
x2 sind abhängig von der anfänglichen Wahl für
x3.
Eine einfache und übersichtliche Darstellungsweise für lineare Gleichungssysteme erlaubt die Verwendung von
Matrizen. In dieser
Theorie lassen sich auch Kriterien für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme formulieren, die einen wichtigen
Gegenstand der linearen
Algebra bilden. Zur praktischen Berechnung linearer Gleichungssysteme wendet man v. a. den
gaußschen Algorithmus an; ein weiteres Lösungsverfahren ist die
cramersche Regel.
Lineare Gleichungssysteme sind in der
Mathematik und ihren Anwendungen von großer
Bedeutung, weil die numerische Lösung von Gleichungen verschiedener Art (z. B. Differenzial- oder Integralgleichungen) vielfach auf die Lösung von linearen Gleichungssystemen zurückgeführt werden kann. Durch den
Einsatz leistungsfähiger
Computer ist es auf diese Weise möglich, Gleichungen aus den verschiedensten Gebieten näherungsweise zu lösen, was früher zum Teil nicht möglich war, da lineare Gleichungssysteme oft mit einer sehr großen Anzahl von Gleichungen und Variablen auftreten.
Universal-Lexikon.
2012.
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